int^2(x^4+6 x) log _(2) x d x

Для вычисления данного интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям.Пусть , тогда .Теперь найдем , умножив на :\( dv = (x^4 + 6x) du \).Теперь найдем , интегрируя :\( v = \int (x^4 + 6x) du = \int x^4 du + \int 6x du = \frac{x^5}{5} + 3x^2 \).Теперь можем записать интеграл в виде :\( \int (x^4 + 6x) \log_2 x dx = \int u dv = uv - \int v du \).Подставим и и найдем :\( \int v du = \int \left( \frac{x^5}{5} + 3x^2 \right) \frac{1}{x \ln 2} dx = \frac{1}{5 \ln 2} \int x^4 dx + \frac{3}{\ln 2} \int x dx = \frac{1}{5 \ln 2} \cdot \frac{x^5}{5} + \frac{3}{\ln 2} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^5}{25 \ln 2} + \frac{3x^2}{2 \ln 2} \).Теперь подставим все в исходный интеграл:\( \int (x^4 + 6x) \log_2 x dx = \left( \frac{x^5}{5} + 3x^2 \right) \log_2 x - \left( \frac{x^5}{25 \ln 2} + \frac{3x^2}{2 \ln 2} \right) + C \).Где - постоянная интегрирования.Таким образом, ответ: \( \int (x^4 + 6x) \log_2 x dx = \left( \frac{x^5}{5} + 3x^2 \right) \log_2 x - \left( \frac{x^5}{25 \ln 2} + \frac{3x^2}{2 \ln 2} \right) + C \).