y^prime prime+2 y^prime+y=x

Для решения данного дифференциального уравнения методом неопределенных коэффициентов, сначала найдем общее решение уравнения без правой части .Рассмотрим характеристическое уравнение для данного уравнения: Решая его, получим: Таким образом, дупличный корень . Следовательно, общее решение для уравнения без правой части будет: Теперь найдем частное решение для уравнения с правой частью . Предположим, что частное решение имеет вид \( y_p(x) = Ax + B \), где и - неопределенные коэффициенты.Подставляя \( y_p(x) \) в исходное уравнение, получим: Рассчитав производные и подставив их в уравнение, получим: Таким образом, частное решение будет иметь вид: Теперь подставим общее и частное решения в исходное уравнение и найдем значения коэффициентов и . Получим: Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения будет иметь вид: где и - произвольные константы, а - константа, определяющая частное решение.