Вопрос
Исследовать на сходимость ряд sum_(n=1)^(oo)((-1)^(n)n)/(2n+1) .
Решения
4
(195 Голоса)
Сергей
профессионал · Репетитор 6 лет
Ответ
ряд сходится.
Объяснение
В рассматриваемом вопросе потребовалось поверить, сходится или нет ряд, заданный формулой ∑n=1^∞((-1)^nn)/(2n+1). Такой ряд называется знакочередующимся рядом, и установить его сходимость можно с помощью признака Лейбница. Согласно этому признаку, знакочередующемся ряд сходится, если выполнено два условия: а) каждый последующий по модулю член ряда не превосходит предыдущего (то есть ряд убывает);б) предел относительного члена ряда равен нулю. 1. Докажем, что ряд убывает. Если выбрать два последовательных члена ряда, то можно показать, что следующий член меньше предыдущего:((n+1)n)/(2(n+1)+1) ∞) = 0.Поскольку этот предел равен нулю, второе условие Лейбница также выполняется.Таким образом, оба уловия признака Лейбница /для сходимости знакочередующегося ряда выполнены, что значит, что оригинальный ряд сходится.