int (sqrt[7](operatorname(arcctg)^4 3 x d x))/(9 x^2)+1

Для решения данного интеграла, нам нужно сначала упростить выражение под корнем. Используя замену переменной, обозначим \( u = \operatorname{arcctg}(3x) \). Тогда , что приводит к изменению знака дифференциала: \( dx = \frac{du}{-3(1+9x^2)} \).Теперь подставим это выражение в интеграл \int \frac{\sqrt[7]{u^4} \cdot \frac{du}{-3(1+9x^2)}}{9x^2+1} \]Упростим выражение: Теперь подставим \( u = \operatorname{arcctg}(3x) \) обратно: Упрощая выражение, получаем: Теперь, используя замену переменной \( u = \operatorname{arcctg}(3x) \), мы можем упростить интеграл до: Интегрируя это выражение, получаем: Используя замену , получаем: Интегрируя это выражение, получаем: Подставляя и \( u = \operatorname{arcctg}(3x) \), получаем: Упрощая выражение, получаем: Таким образом, ответ на данный интеграл равен \( -\frac{1}{24} (\operatorname{arcctg}(3x))^{\frac{8}{7}} + C \), где - константа интегрирования.