4. Hairu YaCTHbIU HHTerpaJI ypaBHeHusl B IIOJI- HbIX HucpopepeHIIHaJIax: (3x^2y^4+5x^4)dx+(4x^3y^3+2y)dy=0, y(1)=-1

Для решения данного дифференциального уравнения методом характеристических уравнений, сначала найдем характеристическое уравнение, которое будет иметь вид: Mdx + Ndy = 0, где и .Теперь найдем частные производные и по и : \frac{\partial M}{\partial x} = 6xy^{4} + 20x^{3}, \frac{\partial M}{\partial y} = 12x^{2}y^{3}, \frac{\partial N}{\partial x} = 12x^{2}y^{3}, \frac{\partial N}{\partial y} = 12x^{3}y^{2} + 2. Теперь найдем определитель матрицы: \frac{\partial M}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial y} - \frac{\partial M}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial x} = (6xy^{4} + 20x^{3})(12x^{3}y^{2} + 2) - (12x^{2}y^{3})(12x^{2}y^{3}) = 72x^{6}y^{6} + 24x^{3} + 240x^{4} - 144x^{4}y^{6} = 72x^{6}y^{6} + 96x^{3} - 144x^{4}y^{6}. Теперь найдем характеристическое уравнение: \frac{dx}{\frac{\partial M}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial y} - \frac{\partial M}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial x}} = \frac{dy}{1}. Подставляя значения, получаем: \frac{dx}{72x^{6}y^{6} + 96x^{3} - 144x^{4}y^{6}} = \frac{dy}{1}. Теперь найдем общее решение уравнения: \int \frac{dx}{72x^{6}y^{6} + 96x^{3} - 144x^{4}y^{6}} = \int dy + C, где - постоянная интеграции.После интегрирования получаем общее решение уравнения: \int \frac{dx}{72x^{6}y^{6} + 96x^{3} - 144x^{4}y^{6}} = y + C, где - постоянная интеграции.Теперь подставим начальное условие \(y(1) = -1\) и найдем значение постоянной : \int \frac{dx}{72x^{6}y^{6} + 96x^{3} - 144x^{4}y^{6}} = -1 + C. После интегрирования и подстановки начального условия, получаем: \int \frac{dx}{72x^{6}y^{6} + 96x^{3} - 144x^{4}y^{6}} = -1 + C. Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения методом характеристических уравнений будет иметь вид: \int \frac{dx}{72x^{6}y^{6} + 96x^{3} - 144x^{4}y^{6}} = y + C, где - постоянная интеграции.