Exercice 5:Un calorimètre contient une masse m_(1)=250g d'eau. La température " initiale de l'ensemble est Theta _(1)=18^circ C. On ajoute une masse m_(2)=300g d'cau a la temperature 0_(2)=80^circ C 1-Quelle serait la température d'équilibre thermique O_(1) de Pensemble si la capacité thermique du calorimètre ct de ses accessoires était negligeable? 2-On mesure en fait une temperature d'équilibre thermique Theta _(r)=50^circ C Déterminer la capacité thermique mu du calorimètre et de ses accessoires.

Pour résoudre cet exercice, nous allons utiliser la conservation de l'énergie thermique. La quantité de chaleur perdue par l'eau chaude sera égale à la quantité de chaleur gagnée par l'eau froide.<br /><br />1- La température d'équilibre thermique $\Theta_{1}$ peut être trouvée en utilisant la formule suivante :<br /><br />$Q_{\text{perdu}} = Q_{\text{gagné}}$<br /><br />$C_{1} \cdot m_{1} \cdot (\Theta_{1} - \Theta_{1}) = C_{2} \cdot m_{2} \cdot (\Theta_{2} - \Theta_{1})$<br /><br />Où :<br />- $C_{1}$ et $C_{2}$ sont les capacités thermiques spécifiques de l'eau (4,2 J/g°C)<br />- $m_{1}$ et $m_{2}$ sont les masses de l'eau froide et chaude respectivement<br />- $\Theta_{1}$ et $\Theta_{2}$ sont les températures initiales de l'eau froide et chaude respectivement<br />- $\Theta_{1}$ est la température d'équilibre thermique que nous cherchons<br /><br />En simplifiant l'équation, nous obtenons :<br /><br />$C_{1} \cdot m_{1} \cdot \Theta_{1} = C_{2} \cdot m_{2} \cdot \Theta_{2}$<br /><br />En substituant les valeurs données, nous avons :<br /><br />$4,2 \cdot 250 \cdot \Theta_{1} = 4,2 \cdot 300 \cdot 80$<br /><br />En résolvant pour $\Theta_{1}$, nous obtenons :<br /><br />$\Theta_{1} = \frac{4,2 \cdot 300 \cdot 80}{4,2 \cdot 250} = 76,8^{\circ}C$<br /><br />Donc, la température d'équilibre thermique $\Theta_{1}$ de l'ensemble serait de 76,8°C si la capacité thermique du calorimètre et de ses accessoires était négligeable.<br /><br />2- Si la température d'équilibre thermique mesurée est $\Theta_{r} = 50^{\circ}C$, nous pouvons utiliser la même formule que ci-dessus pour déterminer la capacité thermique $\mu$ du calorimètre et de ses accessoires.<br /><br />En utilisant la formule :<br /><br />$Q_{\text{perdu}} = Q_{\text{gagné}}$<br /><br />$C_{1} \cdot m_{1} \cdot (\Theta_{1} - \Theta_{r}) = C_{2} \cdot m_{2} \cdot (\Theta_{2} - \Theta_{r}) + \mu \cdot (\Theta_{2} - \Theta_{r})$<br /><br />En simplifiant l'équation, nous obtenons :<br /><br />$\mu \cdot (\Theta_{2} - \Theta_{r}) = C_{1} \cdot m_{1} \cdot (\Theta_{1} - \Theta_{r}) - C_{2} \cdot m_{2} \cdot (\Theta_{2} - \Theta_{r})$<br /><br />En substituant les valeurs données, nous avons :<br /><br />$\mu \cdot (80 - 50) = 4,2 \cdot 250 \cdot (76,8 - 50) - 4,2 \cdot 300 \cdot (80 - 50)$<br /><br />En résolvant pour $\mu$, nous obtenons :<br /><br />$\mu = \frac{4,2 \cdot 250 \cdot (76,8 - 50) - 4,2 \cdot 300 \cdot (80 - 50)}{80 - 50} = 4,2 \cdot 250 \cdot \frac{76,8 - 50}{80 - 50} - 4,2 \cdot 300 \cdot \frac{80 - 50}{80 - 50} = 4,2 \cdot 250 \cdot \frac{26,8}{30} - 4,2 \cdot 300 \cdot \frac{30}{30} = 4,2 \cdot 250 \cdot 0,89 - 4,2 \cdot 300 = 1170 - 1260 = -90 J/°C$<br /><br />Donc, la capacité thermique $\mu$ du calorimètre et de ses accessoires est de -90 J/°C.