((2 x^4+3 x)^4)^prime=

Для решения этой задачи мы можем использовать правило дифференцирования степенной функции и правило дифференцирования произведения функций.<br /><br />Сначала давайте разберемся с внутренним выражением \( (2x^4 + 3x)^4 \). Пусть \( u = 2x^4 + 3x \). Тогда \( (2x^4 + 3x)^4 = u^4 \).<br /><br />Теперь найдем производную \( u^4 \) по \( u \):<br />\[ \frac{d}{du}(u^4) = 4u^3 \]<br /><br />Затем найдем производную \( u = 2x^4 + 3x \) по \( x \):<br />\[ \frac{d}{dx}(2x^4 + 3x) = 8x^3 + 3 \]<br /><br />Теперь применим правило цепочки для нахождения производной \( (2x^4 + 3x)^4 \) по \( x \):<br />\[ \frac{d}{dx}((2x^4 + 3x)^4) = 4(2x^4 + 3x)^3 \cdot \frac{d}{dx}(2x^4 + 3x) \]<br /><br />Подставим найденные производные:<br />\[ \frac{d}{dx}((2x^4 + 3x)^4) = 4(2x^4 + 3x)^3 \cdot (8x^3 + 3) \]<br /><br />Таким образом, производная \( (2x^4 + 3x)^4 \) по \( x \) равна \( 4(2x^4 + 3x)^3 \cdot (8x^3 + 3) \).