lim _(xarrow +infty )((2x+1)/(x-1))^x

Um den Grenzwert zu berechnen, können wir die gegebene Funktion in eine Form bringen, die uns hilft, den Grenzwert zu bestimmen. Wir können die Funktion wie folgt umschreiben:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow +\infty }\left(\frac {2x+1}{x-1}\right)^{x} = \lim _{x\rightarrow +\infty }\left(\frac {2x+1}{x-1}\right)^{x} \cdot \frac {1}{\left(\frac {2x+1}{x-1}\right)^{-x}}$<br /><br />Da $\left(\frac {2x+1}{x-1}\right)^{-x} = \left(\frac {x-1}{2x+1}\right)^{x}$, können wir den Grenzwert wie folgt umschreiben:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow +\infty }\left(\frac {2x+1}{x-1}\right)^{x} = \lim _{x\rightarrow +\infty }\left(\frac {x-1}{2x+1}\right)^{-x} \cdot \left(\frac {2x+1}{x-1}\right)^{x}$<br /><br />Da $\lim _{x\rightarrow +\infty }\left(\frac {x-1}{2x+1}\right)^{-x} = 1$ und $\lim _{x\rightarrow +\infty }\left(\frac {2x+1}{x-1}\right)^{x} = e^{2}$, ergibt sich der Grenzwert:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow +\infty }\left(\frac {2x+1}{x-1}\right)^{x} = 1 \cdot e^{2} = e^{2}$<br /><br />Der Grenzwert der Funktion ist also $e^{2}$.