int^2(x^4+6 x) log _(2) x d x

Для вычисления данного интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям.<br /><br />Пусть \( u = \log_2 x \), тогда \( du = \frac{1}{x \ln 2} dx \).<br /><br />Теперь найдем \( dv \), умножив \( du \) на \( x^4 + 6x \):<br /><br />\( dv = (x^4 + 6x) du \).<br /><br />Теперь найдем \( v \), интегрируя \( dv \):<br /><br />\( v = \int (x^4 + 6x) du = \int x^4 du + \int 6x du = \frac{x^5}{5} + 3x^2 \).<br /><br />Теперь можем записать интеграл в виде \( \int u dv \):<br /><br />\( \int (x^4 + 6x) \log_2 x dx = \int u dv = uv - \int v du \).<br /><br />Подставим \( u \) и \( v \) и найдем \( \int v du \):<br /><br />\( \int v du = \int \left( \frac{x^5}{5} + 3x^2 \right) \frac{1}{x \ln 2} dx = \frac{1}{5 \ln 2} \int x^4 dx + \frac{3}{\ln 2} \int x dx = \frac{1}{5 \ln 2} \cdot \frac{x^5}{5} + \frac{3}{\ln 2} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^5}{25 \ln 2} + \frac{3x^2}{2 \ln 2} \).<br /><br />Теперь подставим все в исходный интеграл:<br /><br />\( \int (x^4 + 6x) \log_2 x dx = \left( \frac{x^5}{5} + 3x^2 \right) \log_2 x - \left( \frac{x^5}{25 \ln 2} + \frac{3x^2}{2 \ln 2} \right) + C \).<br /><br />Где \( C \) - постоянная интегрирования.<br /><br />Таким образом, ответ: \( \int (x^4 + 6x) \log_2 x dx = \left( \frac{x^5}{5} + 3x^2 \right) \log_2 x - \left( \frac{x^5}{25 \ln 2} + \frac{3x^2}{2 \ln 2} \right) + C \).