HRST TIpaBHITO JIonHTAJSS: 6) lim _(xarrow +infty )(sqrt (x^6)-3sqrt [3](x^5)+11)/(2x^3)-sqrt (x+1) lim sinx+x

لنقم بحل المعادلة الأولى:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow +\infty }\frac {\sqrt {x^{6}}-3\sqrt [3]{x^{5}}+11}{2x^{3}-\sqrt {x}+1}$<br /><br />نلاحظ أن الحدود العالية في البسط والمقام هي $x^3$ و $x^3$ على التوالي. لذا يمكننا قسمة البسط والمقام على $x^3$:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow +\infty }\frac {\frac {\sqrt {x^{6}}}{x^3}-\frac{3\sqrt [3]{x^{5}}}{x^3}+\frac{11}{x^3}}{\frac{2x^{3}}{x^3}-\frac{\sqrt {x}}{x^3}+\frac{1}{x^3}}$<br /><br />بعد تبسيط الكسور، نحصل على:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow +\infty }\frac {x^{3/2}-3x^{2/3}+\frac{11}{x^3}}{2-\frac{1}{x^{1/2}}+\frac{1}{x^3}}$<br /><br />عندما يقترب $x$ من اللانهائية، فإن الكسور $\frac{11}{x^3}$ و $\frac{1}{x^3}$ و $\frac{1}{x^{1/2}}$ يقتربان من الصفر. لذا يتبقى لنا:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow +\infty }\frac {x^{3/2}-3x^{2/3}}{2}$<br /><br />نلاحظ أن الحدود العالية في البسط هي $x^{3/2}$ و $x^{2/3}$ على التوالي. لذا يمكننا قسمة البسط والمقام على $x^{3/2}$:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow +\infty }\frac {\frac {x^{3/2}}{x^{3/2}}-\frac{3x^{2/3}}{x^{3/2}}}{\frac{2}{x^{3/2}}}$<br /><br />بعد تبسيط الكسور، نحصل على:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow +\infty }\frac {1-3x^{-1/6}}{2x^{-3/2}}$<br /><br />عندما يقترب $x$ من اللانهائية، فإن $x^{-1/6}$ و $x^{-3/2}$ يقتربان من الصفر. لذا يتبقى لنا:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow +\infty }\frac {1-0}{2-0} = \frac{1}{2}$<br /><br />لذا، الإجابة الصحيحة هي $\frac{1}{2}$.<br /><br />الآن لنقم بحل المعادلة الثانية:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow +\infty }(sinx + x)$<br /><br />عندما يقترب $x$ من اللانهائية، فإن $sinx$ يقترب من قيم محددة بين $-1$ و $1$، بينما $x$ يقترب من اللانهائية. لذا، الإجابة الصحيحة هي اللانهائية.