int (10x^4+11x^2+3)/(1+x^2)dx

Um die gegebene Integrale zu lösen, können wir die Polynomdivision verwenden, um den Ausdruck in eine Form zu bringen, die einfacher zu integrieren ist.<br /><br />Zunächst teilen wir den Ausdruck $10x^4 + 11x^2 + 3$ durch $1 + x^2$:<br /><br />$10x^4 + 11x^2 + 3 = (10x^2 + 1)(x^2 + 1) + 2$<br /><br />Nun können wir die Integrale in zwei Teile zerlegen:<br /><br />$\int \frac{10x^4 + 11x^2 + 3}{1 + x^2}dx = \int \frac{(10x^2 + 1)(x^2 + 1) + 2}{1 + x^2}dx$<br /><br />$= \int (10x^2 + 1)dx + \int \frac{2}{1 + x^2}dx$<br /><br />Das erste Integral ist einfach zu lösen:<br /><br />$\int (10x^2 + 1)dx = \frac{10}{3}x^3 + x + C_1$<br /><br />Das zweite Integral ist eine bekannte Form, die wir als $\int \frac{1}{1 + x^2}dx = \arctan(x) + C_2$ kennen können.<br /><br />Daher ist die Lösung des ursprünglichen Integrals:<br /><br />$\int \frac{10x^4 + 11x^2 + 3}{1 + x^2}dx = \frac{10}{3}x^3 + x + 2\arctan(x) + C$<br /><br />wobei $C = C_1 + C_2$ eine Integrationskonstante ist.