int ((4 x-7) d x)/(x^2)+6 x+5

Для решения данного интеграла сначала упростим знаменатель. Разложим \(x^2 + 6x + 5\) на множители:<br /><br />\[x^2 + 6x + 5 = (x + 1)(x + 5)\]<br /><br />Теперь разделим интеграл на два отдельных интеграла:<br /><br />\[\int \frac{(4x-7)dx}{(x+1)(x+5)} = \int \frac{4x-7}{(x+1)(x+5)}dx\]<br /><br />Разделим дробь на два отдельных интеграла:<br /><br />\[\int \frac{4x-7}{(x+1)(x+5)}dx = \int \frac{4x}{(x+1)(x+5)}dx - \int \frac{7}{(x+1)(x+5)}dx\]<br /><br />Для первого интеграла используем метод разложения на простые дроби:<br /><br />\[\int \frac{4x}{(x+1)(x+5)}dx = \int \left(\frac{A} + \frac{B}{x+5}\right)dx\]<br /><br />Умножим обе части на знаменатель:<br /><br />\[4x = A(x+5) + B(x+1)\]<br /><br />Раскроем скобки:<br /><br />\[4x = Ax + 5A + Bx + B\]<br /><br />Сгруппируем подобные члены:<br /><br />\[4x = (A + B)x + (5A + B)\]<br /><br />Сравнивая коэффициенты, получаем систему уравнений:<br /><br />\[A + B = 4\]<br />\[5A + B = 0\]<br /><br />Решим эту систему:<br /><br />Из первого уравнения выразим \(B\):<br /><br />\[B = 4 - A\]<br /><br />Подставим во второе уравнение:<br /><br />\[5A + (4 - A) = 0\]<br />\[4A + 4 = 0\]<br />\[4A = -4\]<br />\[A = -1\]<br /><br />Теперь найдем \(B\):<br /><br />\[B = 4 - A = 4 - (-1) = 5\]<br /><br />Таким образом, разложим дробь:<br /><br />\[\frac{4x}{(x+1)(x+5)} = \frac{-1}{x+1} + \frac{5}{x+5}\]<br /><br />Интегрируем каждую часть отдельно:<br /><br />\[\int \left(\frac{-1}{x+1} + \frac{5}{x+5}\right)dx = -\ln|x+1| + 5\ln|x+5| + C\]<br /><br />Для второго интеграла используем метод разложения на простые дроби:<br /><br />\[\int \frac{7}{(x+1)(x+5)}dx = \int \left(\frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+5}\right)dx\]<br /><br />Умножим обе части на знаменатель:<br /><br />\[7 = A(x+5) + B(x+1)\]<br /><br />Раскроем скобки:<br /><br />\[7 = Ax + 5A + Bx + B\]<br /><br />Сгруппируем подобные члены:<br /><br />\[7 = (A + B)x + (5A + B)\]<br /><br />Сравнивая коэффициенты, получаем систему уравнений:<br /><br />\[A + B = 0\]<br />\[5A + B = 7\]<br /><br />Решим эту систему:<br /><br />Из первого уравнения выразим \(B\):<br /><br />\[B = -A\]<br /><br />Подставим во второе уравнение:<br /><br />\[5A + (-A) = 7\]<br />\[4A = 7\]<br />\[A = \frac{7}{4}\]<br /><br />Теперь найдем \(B\):<br /><br />\[B = -A = -\frac{7}{4}\]<br /><br />Таким образом, разложим дробь:<br /><br />\[\frac{7}{(x+1)(x+5)} = \frac{\frac{7}{4}}{x+1} - \frac{\frac{7}{4}}{x+5}\]<br /><br />Интегрируем каждую часть отдельно:<br /><br />\[\int \left(\frac{\frac{7}{4}}{x+1} - \frac{\frac{7}{4}}{x+5}\right)dx = \frac{7}{4}\ln|x+1| - \frac{7}{4}\ln|x+5| + C\]<br /><br />Объединим результаты:<br /><br />\[\int \frac{(4x-7)dx}{(