4. Bbrunchurb npenes QYHKHHH: lim _(xarrow 0)(x)/(sqrt (1+3x)-1) -

Для решения данного предела, мы можем использовать метод рационализации знаменателя. <br /><br />Сначала умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{1+3x}+1$:<br /><br />$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x(\sqrt{1+3x}+1)}{(\sqrt{1+3x}-1)(\sqrt{1+3x}+1)}$<br /><br />После упрощения получаем:<br /><br />$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x(\sqrt{1+3x}+1)}{1+3x-1}$<br /><br />$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x(\sqrt{1+3x}+1)}{3x}$<br /><br />Теперь мы можем сократить $x$ в числителе и знаменателе:<br /><br />$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+3x}+1}{3}$<br /><br />Подставляя $x=0$ в полученное выражение, получаем:<br /><br />$\frac{\sqrt{1+3\cdot 0}+1}{3} = \frac{1+1}{3} = \frac{2}{3}$<br /><br />Таким образом, предел $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\sqrt{1+3x}-1}$ равен $\frac{2}{3}$.