Bbluncnute nHTerpan: int (xdx)/(1+x^2) Bbl6epuTe onnH OTBeT: a lnvert 1+xvert +C b 0,5lnvert 1+xvert +C C. lnsqrt (1+x^2)+C d. lnvert xvert +C e. 0,5x^2+C

Die richtige Antwort ist c) $ln\sqrt {1+x^{2}}+C$.<br /><br />Um dies zu berechnen, können wir die Substitution $x = \tan(\theta)$ verwenden, wobei $\theta$ die Inverse des Tangens von $x$ ist. Dann ist $dx = \sec^2(\theta) d\theta$ und $1 + x^2 = \sec^2(\theta)$. Die Integrale dann wird:<br /><br />$\int \frac {x dx}{1+x^{2}} = \int \frac {\tan(\theta) \sec^2(\theta) d\theta}{\sec^2(\theta)} = \int \tan(\theta) d\theta = -\ln|\cos(\theta)| + C$<br /><br />Da $\cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$, ergibt sich:<br /><br />$-\ln|\cos(\theta)| + C = -\ln|\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}| + C = \ln|\sqrt{1+x^2}| + C$<br /><br />Daher ist die richtige Antwort c) $ln\sqrt {1+x^{2}}+C$.