int _(0)^2dxint _(x^2)^2sqrt (2x)dy

Для решения данного двойного интеграла, нам нужно сначала определить границы интегрирования.<br /><br />Для внешнего интеграла границы будут от 0 до 2, так как это границы по x.<br /><br />Для внутреннего интеграла, границы будут от $x^2$ до $2\sqrt{2x}$, так как это границы по y.<br /><br />Теперь мы можем записать двойной интеграл:<br /><br />$\int_{0}^{2}dx\int_{x^2}^{2\sqrt{2x}}dy$<br /><br />Чтобы решить этот интеграл, мы можем сначала проинтегрировать по y, а затем по x.<br /><br />Интегрируя по y, мы получаем:<br /><br />$\int_{0}^{2}dx\left[\int_{x^2}^{2\sqrt{2x}}dy\right]$<br /><br />$\int_{0}^{2}dx\left[y\right]_{x^2}^{2\sqrt{2x}}$<br /><br />$\int_{0}^{2}dx\left(2\sqrt{2x}-x^2\right)$<br /><br />Теперь мы можем проинтегрировать по x:<br /><br />$\int_{0}^{2}dx\left(2\sqrt{2x}-x^2\right)$<br /><br />$\left[2\sqrt{2}\int_{0}^{2}x^{1/2}dx-\int_{0}^{2}x^2dx\right]$<br /><br />$\left[2\sqrt{2}\cdot\frac{2}{3}x^{3/2}\Big|_{0}^{2}-\frac{1}{3}x^3\Big|_{0}^{2}\right]$<br /><br />$\left[\frac{4\sqrt{2}}{3}\cdot2-\frac{1}{3}\cdot8\right]$<br /><br />$\left[\frac{8\sqrt{2}}{3}-\frac{8}{3}\right]$<br /><br />$\frac{8}{3}(\sqrt{2}-1)$<br /><br />Таким образом, значение данного двойного интеграла равно $\frac{8}{3}(\sqrt{2}-1)$.