sum _(n=1)^infty x^2e^-nx,E=[0,+infty )

Для определения сходимости ряда \(\sum_{n=1}^{\infty} x^2 e^{-nx}\) на интервале \(E = [0, +\infty)\), рассмотрим его на границах интервала.<br /><br />1. **При \(x = 0\)**:<br /> \[<br /> \sum_{n=1}^{\infty} x^2 e^{-nx} = \sum_{n=1}^{\infty} 0 \cdot e^{-n \cdot 0} = \sum_{n=1}^{\infty} 0 = 0<br /> \]<br /> Ряд сходится при \(x = 0\).<br /><br />2. **При \(x \to +\infty\)**:<br /> \[<br /> \sum_{n=1}^{\infty} x^2 e^{-nx} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^2}{e^{nx}}<br /> \]<br /> При \(x \to +\infty\) выражение \(\frac{x^2}{e^{nx}}\) стремится к нулю, так как знаменатель растет экспоненциально быстрее, чем числитель. Следовательно, ряд сходится при \(x \to +\infty\).<br /><br />Таким образом, ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} x^2 e^{-nx}\) сходится на всем интервале \(E = [0, +\infty)\).