int (sqrt[8](x+x^1)+2 sqrt(x+4)+2)/(sqrt[4](x+4)) d x

Для решения данного интеграла, сначала упростим выражение под корнем:<br /><br />\(\sqrt[8]{x+x^{1}} = \sqrt[8]{2x}\)<br /><br />\(\sqrt{x+4} = \sqrt{x+4}\)<br /><br />Теперь подставим это в исходное выражение:<br /><br />\(\int \frac{\sqrt[8]{2x} + 2\sqrt{x+4} + 2}{\sqrt[4]{x+4}} dx\)<br /><br />Разделим интеграл на три отдельных интегралов:<br /><br />\(\int \frac{\sqrt[8]{2x}}{\sqrt[4]{x+4}} dx + \int \frac{2\sqrt{x+4}}{\sqrt[4]{x+4}} dx + \int \frac{2}{\sqrt[4]{x+4}} dx\)<br /><br />Первый интеграл можно упростить, заметив, что \(\sqrt[8]{2x} = \sqrt[4]{\sqrt{2}x}\), и подставив \(u = \sqrt[4]{x+4}\), \(du = \frac{1}{4\sqrt[4]{x+4}}dx\):<br /><br />\(\int \frac{\sqrt[4]{\sqrt{2}x}}{\sqrt[4]{x+4}} dx = \int \sqrt[4]{\sqrt{2}} du = \sqrt[4]{\sqrt{2}} \int du = \sqrt[4]{\sqrt{2}} x\)<br /><br />Второй интеграл можно упростить, заметив, что \(\frac{2\sqrt{x+4}}{\sqrt[4]{x+4}} = 2\sqrt[4]{x+4}\), и подставив \(u = \sqrt[4]{x+4}\), \(du = \frac{1}{4\sqrt[4]{x+4}}dx\):<br /><br />\(\int \frac{2\sqrt{x+4}}{\sqrt[4]{x+4}} dx = 2 \int du = 2x\)<br /><br />Третий интеграл можно упростить, заметив, что \(\frac{2}{\sqrt[4]{x+4}} = 2\sqrt[4]{x+4}\), и подставив \(u = \sqrt[4]{x+4}\), \(du = \frac{1}{4\sqrt[4]{x+4}}dx\):<br /><br />\(\int \frac{2}{\sqrt[4]{x+4}} dx = 2 \int du = 2x\)<br /><br />Таким образом, результат интеграла:<br /><br />\(\int \frac{\sqrt[8]{2x} + 2\sqrt{x+4} + 2}{\sqrt[4]{x+4}} dx = \sqrt[4]{\sqrt{2}} x + 2x + 2x = \sqrt[4]{\sqrt{2}} x + 4x\)