5) Haiiru uHrerpan int (3+sqrt [3](x^2)-2x)/(sqrt (x))dx int sin(4-2x)dx int (sin(lnx)dx)/(x) int ((4x+31)dx)/(2x^2)+11x+12

1) $\int \frac {3+\sqrt [3]{x^{2}}-2x}{\sqrt {x}}dx$<br /><br />Для решения данного интеграла, мы можем разбить его на три отдельных интегралов:<br /><br />$\int \frac {3}{\sqrt {x}}dx + \int \frac {\sqrt [3]{x^{2}}}{\sqrt {x}}dx - \int \frac {2x}{\sqrt {x}}dx$<br /><br />Рассмотрим каждый из них отдельно:<br /><br />1) $\int \frac {3}{\sqrt {x}}dx = 6\sqrt{x}$<br />2) $\int \frac {\sqrt [3]{x^{2}}}{\sqrt {x}}dx = \int \frac {x^{2/3}}{x^{1/2}}dx = \int x^{-1/6}dx = \frac{6}{5}x^{5/6}$<br />3) $\int \frac {2x}{\sqrt {x}}dx = \int 2x^{1/2}dx = \frac{4}{3}x^{3/2}$<br /><br />Таким образом, ответ: $6\sqrt{x} + \frac{6}{5}x^{5/6} - \frac{4}{3}x^{3/2} + C$<br /><br />2) $\int sin(4-2x)dx$<br /><br />Для решения данного интеграла, мы можем использовать метод замены переменной. Пусть $u = 4 - 2x$, тогда $du = -2dx$, и $dx = -\frac{1}{2}du$.<br /><br />Тогда интеграл становится:<br /><br />$\int sin(u) \cdot -\frac{1}{2}du = -\frac{1}{2}\int sin(u)du = \frac{1}{2}cos(u) + C$<br /><br />Возвращаясь к исходной переменной $x$, получаем:<br /><br />$\frac{1}{2}cos(4-2x) + C$<br /><br />3) $\int \frac {sin(lnx)dx}{x}$<br /><br />Для решения данного интеграла, мы можем использовать метод замены переменной. Пусть $u = ln(x)$, тогда $du = \frac{1}{x}dx$, и $dx = xdu$.<br /><br />Тогда интеграл становится:<br /><br />$\int sin(u)du = -cos(u) + C$<br /><br />Возвращаясь к исходной переменной $x$, получаем:<br /><br />$-cos(ln(x)) + C$<br /><br />4) $\int \frac {(4x+31)dx}{2x^{2}+11x+12}$<br /><br />Для решения данного интеграла, мы можем разбить его на два отдельных интегралов:<br /><br />$\int \frac {4x}{2x^{2}+11x+12}dx + \int \frac {31}{2x^{2}+11x+12}dx$<br /><br />Рассмотрим каждый из них отдельно:<br /><br />1) $\int \frac {4x}{2x^{2}+11x+12}dx = 2\int \frac {2x}{2x^{2}+11x+12}dx = \int \frac {2x+1}{2x^{2}+11x+12}dx - \int \frac {1}{2x^{2}+11x+12}dx = \ln|2x^{2}+11x+12| - \int \frac {1}{2x^{2}+11x+12}dx$<br />2) $\int \frac {31}{2x^{2}+11x+12}dx = \frac{31}{2}\int \frac {1}{x^{2}+\frac{11}{2}x+6}dx = \frac{31}{2}\int \frac {1}{(x+\frac{11}{4})^{2}+\frac{25}{16}}dx = \frac{31}{2}\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{1}{\sqrt{25/16}}\cdot \arctan\left(\frac{x+\frac{11}{4}}{\sqrt{25/16}}\right) = \frac{31}{5}\cdot \arctan\left(\frac{4x+11}{5}\right)$<br /><br />Таким образом, ответ: $\ln|2x^{2}+11x+12| - \frac{31}{5}\cdot \arctan\left(\frac{4x+11}{5}\right) + C$