4. Hairu YaCTHbIU HHTerpaJI ypaBHeHusl B IIOJI- HbIX HucpopepeHIIHaJIax: (3x^2y^4+5x^4)dx+(4x^3y^3+2y)dy=0, y(1)=-1

Для решения данного дифференциального уравнения методом характеристических уравнений, сначала найдем характеристическое уравнение, которое будет иметь вид:<br /><br />$$Mdx + Ndy = 0,$$<br /><br />где \(M = 3x^{2}y^{4} + 5x^{4}\) и \(N = 4x^{3}y^{3} + 2y\).<br /><br />Теперь найдем частные производные \(M\) и \(N\) по \(x\) и \(y\):<br /><br />$$\frac{\partial M}{\partial x} = 6xy^{4} + 20x^{3},$$<br />$$\frac{\partial M}{\partial y} = 12x^{2}y^{3},$$<br />$$\frac{\partial N}{\partial x} = 12x^{2}y^{3},$$<br />$$\frac{\partial N}{\partial y} = 12x^{3}y^{2} + 2.$$<br /><br />Теперь найдем определитель матрицы:<br /><br />$$\frac{\partial M}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial y} - \frac{\partial M}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial x} = (6xy^{4} + 20x^{3})(12x^{3}y^{2} + 2) - (12x^{2}y^{3})(12x^{2}y^{3}) = 72x^{6}y^{6} + 24x^{3} + 240x^{4} - 144x^{4}y^{6} = 72x^{6}y^{6} + 96x^{3} - 144x^{4}y^{6}.$$<br /><br />Теперь найдем характеристическое уравнение:<br /><br />$$\frac{dx}{\frac{\partial M}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial y} - \frac{\partial M}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial x}} = \frac{dy}{1}.$$<br /><br />Подставляя значения, получаем:<br /><br />$$\frac{dx}{72x^{6}y^{6} + 96x^{3} - 144x^{4}y^{6}} = \frac{dy}{1}.$$<br /><br />Теперь найдем общее решение уравнения:<br /><br />$$\int \frac{dx}{72x^{6}y^{6} + 96x^{3} - 144x^{4}y^{6}} = \int dy + C,$$<br /><br />где \(C\) - постоянная интеграции.<br /><br />После интегрирования получаем общее решение уравнения:<br /><br />$$\int \frac{dx}{72x^{6}y^{6} + 96x^{3} - 144x^{4}y^{6}} = y + C,$$<br /><br />где \(C\) - постоянная интеграции.<br /><br />Теперь подставим начальное условие \(y(1) = -1\) и найдем значение постоянной \(C\):<br /><br />$$\int \frac{dx}{72x^{6}y^{6} + 96x^{3} - 144x^{4}y^{6}} = -1 + C.$$<br /><br />После интегрирования и подстановки начального условия, получаем:<br /><br />$$\int \frac{dx}{72x^{6}y^{6} + 96x^{3} - 144x^{4}y^{6}} = -1 + C.$$<br /><br />Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения методом характеристических уравнений будет иметь вид:<br /><br />$$\int \frac{dx}{72x^{6}y^{6} + 96x^{3} - 144x^{4}y^{6}} = y + C,$$<br /><br />где \(C\) - постоянная интеграции.