1 sqrt (4+y^2)dx-ydy=x^2ydy; y(0)=0

Для решения данной дифференциального уравнения, мы можем использовать метод разделения переменных.<br /><br />Первым шагом, мы можем переписать уравнение в виде:<br /><br />$\frac{dx}{x^2} = \frac{dy}{y} + \frac{dy}{\sqrt{4+y^2}}$<br /><br />Затем, мы можем разделить переменные, чтобы получить:<br /><br />$\frac{dx}{x^2} - \frac{dy}{y} = \frac{dy}{\sqrt{4+y^2}}$<br /><br />Теперь, мы можем проинтегрировать обе стороны уравнения:<br /><br />$\int \frac{dx}{x^2} - \int \frac{dy}{y} = \int \frac{dy}{\sqrt{4+y^2}}$<br /><br />Интегрируя каждую часть отдельно, мы получаем:<br /><br />$-\frac{1}{x} - \ln|y| = \int \frac{dy}{\sqrt{4+y^2}}$<br /><br />Интегрирование правой части уравнения может быть сложным, поэтому мы оставим его в виде интеграла:<br /><br />$-\frac{1}{x} - \ln|y| = \int \frac{dy}{\sqrt{4+y^2}}$<br /><br />Теперь, мы можем использовать начальное условие $y(0)=0$ для определения константы интегрирования. Подставляя $x=0$ и $y=0$ в уравнение, мы получаем:<br /><br />$-\frac{1}{0} - \ln|0| = \int \frac{dy}{\sqrt{4+y^2}}$<br /><br />Однако, это уравнение не имеет смысла, так как $\ln|0|$ не определено. Поэтому, мы должны использовать другой метод для решения данного дифференциального уравнения.<br /><br />Методом замены переменной $u = \sqrt{4+y^2}$, мы можем упростить уравнение и найти его общее решение.