5.IIoka3aTb 4TO sqrt (1+2x)-1=O(tg3x) npx xarrow 0 -

Для решения данного предела, мы можем использовать разложение в ряд Тейлора для функции $\sqrt{1+2x}$ и функции $\tan(3x)$.<br /><br />Разложим $\sqrt{1+2x}$ в ряд Тейлора:<br /><br />$\sqrt{1+2x} = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{8}x^4 + O(x^5)$<br /><br />Разложим $\tan(3x)$ в ряд Тейлора:<br /><br />$\tan(3x) = 3x + \frac{9}{3}x^3 + O(x^5) = 3x + 3x^3 + O(x^5)$<br /><br />Теперь подставим эти разложения в исходное выражение:<br /><br />$\sqrt{1+2x} - 1 = (1 + x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{8}x^4 + O(x^5)) - 1 = x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{8}x^4 + O(x^5)$<br /><br />$\tan(3x) = 3x + 3x^3 + O(x^5)$<br /><br />Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:<br /><br />$x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{8}x^4 + O(x^5) = 3x + 3x^3 + O(x^5)$<br /><br />Упростим уравнение:<br /><br />$x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{8}x^4 = 3x + 3x^3$<br /><br />$-\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{8}x^4 = 2x + 3x^3$<br /><br />$x(-\frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^3) = 2x + 3x^3$<br /><br />$x(-\frac{1}{2} - \frac{1}{8}x^2) = 2 + 3x^2$<br /><br />$x = \frac{2 + 3x^2}{-\frac{1}{2} - \frac{1}{8}x^2}$<br /><br />Теперь мы можем найти предел $x \rightarrow 0$:<br /><br />$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 + 3x^2}{-\frac{1}{2} - \frac{1}{8}x^2} = \frac{2}{-\frac{1}{2}} = -4$<br /><br />Таким образом, предел $\lim_{x \rightarrow 0} (\sqrt{1+2x} - 1) = \tan(3x)$ равен $-4$.