Hacimu npouzbogrove [ y=sqrt[3](x^3 operatorname(arctg)(1-x)) ]

Для функции \( y = \sqrt[3]{x^{3} \operatorname{arctg}(1-x)} \) найдем производную.<br /><br />Для этого воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции и цепного правила дифференцирования.<br /><br />Производная от \( y \) будет равна:<br /><br />\[<br />y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt[3]{x^{3} \operatorname{arctg}(1-x)} \right)<br />\]<br /><br />Для этого сначала найдем производную от \( x^{3} \operatorname{arctg}(1-x) \):<br /><br />\[<br />\frac{d}{dx} \left( x^{3} \operatorname{arctg}(1-x) \right) = 3x^{2} \operatorname{arctg}(1-x) + x^{3} \cdot \frac{1}{1+(1-x)^{2}} \cdot (-1)<br />\]<br /><br />\[<br />= 3x^{2} \operatorname{arctg}(1-x) - \frac{x^{3}}{1+1-2x+x^{2}}<br />\]<br /><br />\[<br />= 3x^{2} \operatorname{arctg}(1-x) - \frac{x^{3}}{2-x+x^{2}}<br />\]<br /><br />Теперь найдем производную от \( \sqrt[3]{x^{3} \operatorname{arctg}(1-x)} \):<br /><br />\[<br />\frac{d}{dx} \left( \sqrt[3]{x^{3} \operatorname{arctg}(1-x)} \right) = \frac{1}{3} \left( x^{3} \operatorname{arctg}(1-x) \right)^{-\frac{2}{3}} \cdot \left( 3x^{2} \operatorname{arctg}(1-x) - \frac{x^{3}}{2-x+x^{2}} \right)<br />\]<br /><br />Таким образом, производная функции \( y = \sqrt[3]{x^{3} \operatorname{arctg}(1-x)} \) равна:<br /><br />\[<br />y' = \frac{1}{3} \left( x^{3} \operatorname{arctg}(1-x) \right)^{-\frac{2}{3}} \cdot \left( 3x^{2} \operatorname{arctg}(1-x) - \frac{x^{3}}{2-x+x^{2}} \right)<br />\]