y^prime prime+2 y^prime+y=x

Для решения данного дифференциального уравнения методом неопределенных коэффициентов, сначала найдем общее решение уравнения без правой части \( x \).<br /><br />Рассмотрим характеристическое уравнение для данного уравнения:<br /><br />\[ r^2 + 2r + 1 = 0 \]<br /><br />Решая его, получим:<br /><br />\[ (r + 1)^2 = 0 \]<br /><br />Таким образом, дупличный корень \( r = -1 \). Следовательно, общее решение для уравнения без правой части будет:<br /><br />\[ y_h(x) = (C_1 + C_2x)e^{-x} \]<br /><br />Теперь найдем частное решение для уравнения с правой частью \( x \). Предположим, что частное решение имеет вид \( y_p(x) = Ax + B \), где \( A \) и \( B \) - неопределенные коэффициенты.<br /><br />Подставляя \( y_p(x) \) в исходное уравнение, получим:<br /><br />\[ (Ax + B)^{\prime \prime} + 2(Ax + B)^{\prime} + (Ax + B) = x \]<br /><br />Рассчитав производные и подставив их в уравнение, получим:<br /><br />\[ 2A + 2A = 1 \]<br /><br />\[ 4A = 1 \]<br /><br />\[ A = \frac{1}{4} \]<br /><br />Таким образом, частное решение будет иметь вид:<br /><br />\[ y_p(x) = \frac{1}{4}x + B \]<br /><br />Теперь подставим общее и частное решения в исходное уравнение и найдем значения коэффициентов \( C_1 \) и \( C_2 \). Получим:<br /><br />\[ y(x) = y_h(x) + y_p(x) = (C_1 + C_2x)e^{-x} + \frac{1}{4}x + B \]<br /><br />Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения будет иметь вид:<br /><br />\[ y(x) = (C_1 + C_2x)e^{-x} + \frac{1}{4}x + B \]<br /><br />где \( C_1 \) и \( C_2 \) - произвольные константы, а \( B \) - константа, определяющая частное решение.