Исследовать на сходимость ряд sum_(n=1)^(oo)((-1)^(n)n)/(2n+1) .

<p> В рассматриваемом вопросе потребовалось поверить, сходится или нет ряд, заданный формулой <br />∑n=1^∞((-1)^nn)/(2n+1). <br />Такой ряд называется знакочередующимся рядом, и установить его сходимость можно с помощью признака Лейбница. <br />Согласно этому признаку, знакочередующемся ряд сходится, если выполнено два условия: <br />а) каждый последующий по модулю член ряда не превосходит предыдущего (то есть ряд убывает);<br />б) предел относительного члена ряда равен нулю. <br /><br />1. Докажем, что ряд убывает. Если выбрать два последовательных члена ряда, то можно показать, что следующий член меньше предыдущего:<br /><br />((n+1)n)/(2(n+1)+1) < (nn)/(2n+1).<br />Исходя из этого неравенства, имеет место убывание ряда.<br /><br />2. Предел относительного члена ряда равен нулю:<br /><br />lim ((-1)^nn)/(2n+1) when n->∞) = 0.<br />Поскольку этот предел равен нулю, второе условие Лейбница также выполняется.<br /><br />Таким образом, оба уловия признака Лейбница /для сходимости знакочередующегося ряда выполнены, что значит, что оригинальный ряд сходится.</p>