11.60. По данным корням постройте многочлен наименьшей степени над C и над R : двойной корень 1 , простые корни -1 и i ; тройной корень 1-2i ; двойной корень -1-i и двойной корень -2+i .

<p> <br />1. Многочлен наименьшей степени, имеющий двойной корень 1, это \((x - 1)^2\), простой корень -1, это \((x + 1)\), и простой корень i, это \((x - i)\). Умножаем эти выражения, чтобы получить многочлен над комплексными числами (uC), который также будет многочленом над действительными числами (uR), поскольку комплексные корни в многочленах с действительными коэффициентами всегда появляются в комплексно-сопряженных парах. Поскольку i - это комплексный корень, его сопряженный -i также будет корнем, но поскольку -i не указан как корень, многочлен будет одинаковым над uC и uR.<br /><br />2. Многочлен наименьшей степени с тройным корнем \(1-2i\) это \((x - (1 - 2i))^3\). Поскольку \(1-2i\) - это комплексное число, его сопряженное \(1+2i\) также должно быть корнем многочлена с действительными коэффициентами. Однако, поскольку \(1+2i\) не указано как корень, многочлен будет одинаковым над uC и uR.<br /><br />3. Для двойного корня \(-1-i\) многочлен будет \((x + 1 + i)^2\), а для двойного корня \(-2+i\) многочлен будет \((x + 2 - i)^2\). Умножив эти многочлены, получим итоговый многочлен. Как и в предыдущих случаях, поскольку корни являются комплексными числами, их комплексно-сопряженные также являются корнями многочлена с действительными коэффициентами. Но поскольку сопряженные корни не указаны, многочлен остается таким же и над uC, и над uR.<br /></p>