(x+1) cdot y^prime=y npu y(1)=5

Для решения данного дифференциального уравнения, мы можем использовать метод разделения переменных.<br /><br />Итак, начнем с того, что умножим обе части уравнения на \( \frac{1}{y} \), чтобы избавиться от \( y \) в правой части:<br /><br />\( (x+1) \cdot y^{\prime} = y \)<br /><br />\( \frac{1}{y} \cdot (x+1) \cdot y^{\prime} = 1 \)<br /><br />Теперь мы можем разделить переменные, переместив \( y \) на одну сторону и \( x \) на другую:<br /><br />\( \frac{1}{y} \cdot dy = \frac{1}{x+1} \cdot dx \)<br /><br />Интегрируя обе части, получим:<br /><br />\( \int \frac{1}{y} \cdot dy = \int \frac{1}{x+1} \cdot dx \)<br /><br />\( \ln|y| = \ln|x+1| + C \)<br /><br />где \( C \) - константа интегрирования.<br /><br />Теперь мы можем использовать начальное условие \( y(1) = 5 \), чтобы найти значение константы \( C \):<br /><br />\( \ln|5| = \ln|1+1| + C \)<br /><br />\( \ln|5| = \ln|2| + C \)<br /><br />\( C = \ln|5| - \ln|2| \)<br /><br />Теперь мы можем записать общее решение дифференциального уравнения:<br /><br />\( \ln|y| = \ln|x+1| + \ln|5| - \ln|2| \)<br /><br />\( \ln|y| = \ln|5| - \ln|2| + \ln|x+1| \)<br /><br />\( \ln|y| = \ln\left|\frac{5}{2}\right| + \ln|x+1| \)<br /><br />\( \ln|y| = \ln\left|\frac{5}{2}(x+1)\right| \)<br /><br />\( y = \pm \frac{5}{2}(x+1) \)<br /><br />Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения - это \( y = \pm \frac{5}{2}(x+1) \).