(x+1) cdot y^prime=y npu {y^3(1)=5.

Для решения данного дифференциального уравнения, мы можем использовать метод разделения переменных.<br /><br />Итак, начнем с того, что умножим обе части уравнения на \( \frac{1}{y} \), чтобы избавиться от \( y \) в левой части:<br /><br />\( (x+1) \cdot y^{\prime} = y \)<br /><br />\( (x+1) \cdot \frac{y^{\prime}}{y} = 1 \)<br /><br />Теперь мы можем разделить переменные, переместив \( y \) на одну сторону и \( x \) на другую:<br /><br />\( \frac{y^{\prime}}{y} = \frac{1}{x+1} \)<br /><br />Интегрируя обе части уравнения, получим:<br /><br />\( \int \frac{y^{\prime}}{y} dx = \int \frac{1}{x+1} dx \)<br /><br />\( \ln|y| = \ln|x+1| + C \)<br /><br />где \( C \) - константа интегрирования.<br /><br />Теперь мы можем использовать начальное условие \( y^3(1) = 5 \) для определения константы \( C \). Подставляя \( x = 1 \) и \( y = \sqrt[3]{5} \) в уравнение, получим:<br /><br />\( \ln|\sqrt[3]{5}| = \ln|1+1| + C \)<br /><br />\( \ln|\sqrt[3]{5}| = \ln|2| + C \)<br /><br />\( \ln|\sqrt[3]{5}| - \ln|2| = C \)<br /><br />\( \ln|\frac{\sqrt[3]{5}}{2}| = C \)<br /><br />Теперь мы можем записать общее решение дифференциального уравнения:<br /><br />\( \ln|y| = \ln|x+1| + \ln|\frac{\sqrt[3]{5}}{2}| \)<br /><br />\( \ln|y| = \ln|\frac{(x+1)\sqrt[3]{5}}{2}| \)<br /><br />\( y = \frac{(x+1)\sqrt[3]{5}}{2} \)<br /><br />Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения с начальным условием \( y^3(1) = 5 \) будет:<br /><br />\( y = \frac{(x+1)\sqrt[3]{5}}{2} \)