lim _(n arrow infty) ((-1)^n+1 cdot(n+1))/((1+n^2))+1 cdot (n^2+1)/((-1)^n) cdot n=

Для решения данного предела, начнем с упрощения выражения:<br /><br />\[<br />\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(-1)^{ncdot(n+1)}{\left(1+n^{2}\right)+1} \cdot \frac{n^{2}+1}{(-1)^{n} \cdot n}<br />\]<br /><br />Первое, что мы можем сделать, это упростить знаменатели. Обратите внимание, что \((-1)^{n+1}\) и \((-1)^{n}\) будут чередоваться между 1 и -1, так как \(n\) четное и нечетное. Поэтому мы можем записать:<br /><br />\[<br />\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(-1)^{n+1} \cdot(n+1)}{n^{2}+2} \cdot \frac{n^{2}+1}{(-1)^{n} \cdot n}<br />\]<br /><br />Т мы можем упростить выражение, разделив числитель и знаменатель на \(n^{2}\):<br /><br />\[<br />\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(-1)^{n+1} \cdot \left(1+\frac{1}{n}\right)}{1+\frac{2}{n^{2}}} \cdot \frac{1+\frac{1}{n^{2}}}{(-1)^{n} \cdot \frac{1}{n}}<br />\]<br /><br />Теперь, когда \(n\) стремится к бесконечности, \(\frac{1}{n}\) и \(\frac{1}{n^{2}}\) стремятся к нулю. Таким образом, мы можем упростить выражение до:<br /><br />\[<br />\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(-1)^{n+1} \cdot 1}{1} \cdot \frac{1}{(-1)^{n} \cdot 0}<br />\]<br /><br />Очевидно, что второй член стремится к нулю, поэтому предел равен нулю:<br /><br />\[<br />\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(-1)^{n+1} \cdot(n+1)}{\left(1+n^{2}\right)+1} \cdot \frac{n^{2}+1}{(-1)^{n} \cdot n} = 0<br />\]