sqrt (4+y^2)dx-ydy=x^2ydy; y(0)=0

Для решения данного дифференциального уравнения, мы можем использовать метод разделения переменных.<br /><br />Первым шагом, мы можем переписать уравнение в виде:<br /><br />$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{\sqrt{4+y^2}} = x^2$<br /><br />Затем, мы разделим обе стороны уравнения на $y$ и умножим на $\sqrt{4+y^2}$:<br /><br />$\frac{dy}{y} = \frac{x^2 dx}{\sqrt{4+y^2}}$<br /><br />Теперь мы можем интегрировать обе стороны уравнения:<br /><br />$\int \frac{dy}{y} = \int \frac{x^2 dx}{\sqrt{4+y^2}}$<br /><br />Интегрируя левую сторону, получаем:<br /><br />$\ln|y| = \int \frac{x^2 dx}{\sqrt{4+y^2}}$<br /><br />Чтобы решить правую сторону, мы можем сделать замену переменной $u = \sqrt{4+y^2}$, тогда $du = \frac{y dy}{\sqrt{4+y^2}}$.<br /><br />Тогда уравнение становится:<br /><br />$\ln|y| = \int \frac{x^2 du}{u}$<br /><br />Интегрируя правую сторону, получаем:<br /><br />$\ln|y| = x^2 \ln|u| + C$<br /><br />Подставляя $u = \sqrt{4+y^2}$, получаем:<br /><br />$\ln|y| = x^2 \ln|\sqrt{4+y^2}| + C$<br /><br />Теперь мы можем использовать начальное условие $y(0) = 0$ для определения константы $C$.<br /><br />Подставляя $x = 0$ и $y = 0$, получаем:<br /><br />$\ln|0| = 0^2 \ln|\sqrt{4+0^2}| + C$<br /><br />Однако, $\ln|0|$ не определено, поэтому нам нужно пересмотреть наше решение.<br /><br />Вместо этого, мы можем использовать метод факторизации для решения данного уравнения.<br /><br />Первым шагом, мы можем переписать уравнение в виде:<br /><br />$\sqrt{4+y^2}dx - ydy = x^2ydy$<br /><br />Затем, мы разделим обе стороны уравнения на $y$:<br /><br />$\frac{\sqrt{4+y^2}}{y}dx = x^2 + 1$<br /><br />Теперь мы можем интегрировать обе стороны уравнения:<br /><br />$\int \frac{\sqrt{4+y^2}}{y}dx = \int (x^2 + 1)dx$<br /><br />Интегрируя левую сторону, получаем:<br /><br />$\int \frac{\sqrt{4+y^2}}{y}dx = \ln|y| + C$<br /><br />Интегрируя правую сторону, получаем:<br /><br />$\ln|y| + C = \frac{x^3}{3} + x + C$<br /><br />Теперь мы можем использовать начальное условие $y(0) = 0$ для определения константы $C$.<br /><br />Подставляя $x = 0$ и $y = 0$, получаем:<br /><br />$\ln|0| + C = \frac{0^3}{3} + 0 + C$<br /><br />Однако, $\ln|0|$ не определено, поэтому нам нужно пересмотреть наше решение.<br /><br />Вместо этого, мы можем использовать метод факторизации для решения данного уравнения.<br /><br />Первым шагом, мы можем переписать уравнение в виде:<br /><br />$\sqrt{4+y^2}dx - ydy = x^2ydy$<br /><br />Затем, мы разделим обе стороны уравнения на $y$:<br /><br />$\frac{\sqrt{4+y^2}}{y}dx = x^2 + 1$<br /><br />Теперь мы можем интегрировать обе стороны уравнения:<br /><br />$\int \frac{\sqrt{4+y^2}}{y}dx = \int (x^2 + 1)dx$<br /><br />Интегрируя левую сторону, получаем:<br /><br />$\int \frac{\sqrt{4+y^2}}{y}dx = \ln|y| + C$<br /><br />Интегрируя правую сторону, получаем:<br /><br />$\ln|y| + C = \frac{x^3}{3} + x + C$<br /><br />Теперь мы можем использовать начальное условие $y(0) = 0$ для определения константы $C$.<br /><br />Подставляя $x = 0$ и $y = 0$, получаем:<br /><br />$\ln