4. La variable aléatoire X est uniformément répartie dans l'intervalle (a;4) , son la variance est 3. Trouver A. Écrire la fonction de distribution de la variable aléatoire X et tracer son calendrier. Trouver M(X),D(X),y(X) et la probabilité de frapper les valeurs variable aléatoire X dans l'intervalle (0,5;2,5)

Pour trouver la valeur de \( a \), nous devons utiliser la formule de la variance pour une distribution uniforme. La variance \( \sigma^2 \) d'une variable aléatoire uniformément répartie dans l'intervalle \( (a, b) \) est donnée par :<br /><br />\[ \sigma^2 = \frac{(b - a)^2}{12} \]<br /><br />Nous savons que la variance est 3, donc :<br /><br />\[ 3 = \frac{(4 - a)^2}{12} \]<br /><br />En résolvant cette équation, nous trouvons :<br /><br />\[ 3 \times 12 = (4 - a)^2 \]<br />\[ 36 = (4 - a)^2 \]<br />\[ 4 - a = \pm 6 \]<br /><br />Cela donne deux solutions possibles :<br /><br />\[ 4 - a = 6 \quad \text{ou} \quad 4 - a = -6 \]<br /><br />\[ a = -2 \quad \text{ou} \quad a = 10 \]<br /><br />Puisque \( a \) doit être inférieur à 4, la seule solution valide est \( a = -2 \).<br /><br />### Fonction de distribution de la variable aléatoire X<br /><br />La fonction de distribution cumulative (FDC) d'une variable uniformément répartie dans l'intervalle \( (a, b) \) est donnée par :<br /><br />\[ F(x) = \begin{cases} <br />0 & \text{si } x < a \\<br />\frac{x - a}{b - a} & \text{si } a \leq x < b \\<br />1 & \text{si } x \geq b<br />\end{cases} \]<br /><br />Pour notre cas, \( a = -2 \) et \( b = 4 \), donc :<br /><br />\[ F(x) = \begin{cases} <br />0 & \text{si } x < -2 \\<br />\frac{x + 2}{6} & \text{si } -2 \leq x < 4 \\<br />1 & \text{si } x \geq 4<br />\end{cases} \]<br /><br />### Calendrier de la fonction de distribution<br /><br />Voici le calendrier de la fonction de distribution \( F(x) \) :<br /><br />\[<br />\begin{array}{|c|c|c|c|}<br />\hline<br />x & -\infty & -2 & 4 & +\infty \\<br />\hline<br />F(x) & 0 & \frac{x + 2}{6} & 1 & 1 \\<br />\hline<br />\end{array}<br />\]<br /><br />### Moyenne \( M(X) \)<br /><br />La moyenne d'une variable uniformément répartie dans l'intervalle \( (a, b) \) est donnée par :<br /><br />\[ M(X) = \frac{a + b}{2} \]<br /><br />Pour notre cas, \( a = -2 \) et \( b = 4 \), donc :<br /><br />\[ M(X) = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \]<br /><br />### Écart-type \( D(X) \)<br /><br />L'écart-type est la racine carrée de la variance :<br /><br />\[ D(X) = \sqrt{3} \]<br /><br />### Fonction de densité de probabilité \( f(x) \)<br /><br />La fonction de densité de probabilité (FDP) d'une variable uniformément répartie dans l'intervalle \( (a, b) \) est donnée par :<br /><br />\[ f(x) = \frac{1}{b - a} \]<br /><br />Pour notre cas, \( a = -2 \) et \( b = 4 \), donc :<br /><br />\[ f(x) = \frac{1}{4 - (-2)} = \frac{1}{6} \]<br /><br />### Probabilité de frapper les valeurs de la variable aléatoire X dans l'intervalle \( (0.5, 2.5) \)<br /><br />La probabilité que \( X \) tombe dans l'intervalle \( (0.5, 2.5) \) est donnée par l'intégrale de la FDP sur cet intervalle :<br /><br />\[ P(0.5 \leq X \leq 2.5) = \int_{0.5}^{2.5} \frac{1}{6} \, dx = \frac{1}{6} \times (2.5 - 0.5) = \frac{1}{6} \times 2 = \frac{1}{3} \]<br /><br />Donc, la probabilité est \( \frac{1}{3} \).