sum_(n=1)^infty (1)/((n+4)(n+5)

Для решения данного бесконечного ряда, мы можем использовать метод разложения на простые дроби.<br /><br />Сначала разложим дробь \(\frac{1}{(n+4)(n+5)}\) на простые дроби. Для этого найдем два числа, которые при умножении дают произведение \((n+4)(n+5)\). В данном случае, это числа \(n+4\) и \(n+5\).<br /><br />Теперь мы можем записать ряд в виде суммы простых дробей:<br /><br />\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+4)(n+5)} = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n+4} - \frac{1}{n+5}\right)\)<br /><br />Заметим, что в этом ряде каждый член имеет вид разности двух простых дробей. Мы можем переписать ряд следующим образом:<br /><br />\(\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n+4} - \frac{1}{n+5}\right) = \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{6}\right) + \left(\frac{1}{6} - \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{8}\right) + \ldots\)<br /><br />Заметим, что все промежуточные члены сокращаются, и остается только первый член:<br /><br />\(\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n+4} - \frac{1}{n+5}\right) = \frac{1}{5}\)<br /><br />Таким образом, сумма бесконечного ряда \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+4)(n+5)}\) равна \(\frac{1}{5}\).