sum _(n=1)^infty ((-1)^n)/(sqrt [3](n^2)-n)

Для определения сходимости ряда, рассмотрим его общий член:<br /><br />$$a_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt[3]{n^2 - n}}.$$<br /><br />Для анализа сходимости ряда используем признак Лейбница. Рассмотрим предел отношения последовательных членов:<br /><br />$$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(-1)^{n+1}/\sqrt[3]{(n+1)^2 - (n+1)}}{(-1)^n/\sqrt[3]{n^2 - n}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n^2 - n)}{(n+1)^2 - (n+1)} \right|^{1/3}.$$<br /><br />Упростим выражение:<br /><br />$$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{n^2 - n}{(n+1)^2 - (n+1)} \right|^{1/3} = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{n(n-1)}{(n+1)(n)} \right|^{1/3} = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{n-1}{n+1} \right|^{1/3} = 1.$$<br /><br />Так как предел равен 1, то ряд не сходится по признаку Лейбница. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt[3]{n^2 - n}}$ не сходится.