lim _(narrow infty )((n^3)/(n^2)+1-(3n^2)/(3n-1))

Um den Grenzwert zu berechnen, müssen wir die beiden Brüche separat betrachten und dann den Unterschied ziehen.<br /><br />Zunächst betrachten wir den ersten Bruch $\frac{n^3}{n^2+1}$. Wir können den Nenner und den Zähler durch $n^2$ dividieren, um den Grenzwert zu vereinfachen:<br /><br />$\lim_{n\to\infty} \frac{n^3}{n^2+1} = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{1+\frac{1}{n^2}} = \frac{\lim_{n\to\infty} n}{\lim_{n\to\infty} (1+\frac{1}{n^2})} = \frac{\infty}{1+0} = \infty$<br /><br />Als nächstes betrachten wir den zweiten Bruch $\frac{3n^2}{3n-1}$. Wir können den Nenner und den Zähler durch $n$ dividieren, um den Grenzwert zu vereinfachen:<br /><br />$\lim_{n\to\infty} \frac{3n^2}{3n-1} = \lim_{n\to\infty} \frac{3n}{3-\frac{1}{n}} = \frac{\lim_{n\to\infty} 3n}{\lim_{n\to\infty} (3-\frac{1}{n})} = \frac{3\cdot\infty}{3-0} = \infty$<br /><br />Da beide Brüche unendlich sind, müssen wir den Unterschied zwischen den beiden Brüchen berechnen:<br /><br />$\lim_{n\to\infty} \left(\frac{n^3}{n^2+1} - \frac{3n^2}{3n-1}\right) = \lim_{n\to\infty} \left(\infty - \infty\right)$<br /><br />Da der Unterschied zwischen zwei unendlichen Größen nicht definiert ist, ist der Grenzwert nicht existent.