int (sqrt[8](x+4^2)+sqrt[2](x+4)+2)/(4 sqrt(x+4)) d x

Для решения данного интеграла, мы можем воспользоваться методом замены переменной. Пусть \( u = \sqrt{x+4} \), тогда \( du = \frac{1}{2\sqrt{x+4}}dx \). Таким образом, \( dx = 2udu \). Подставляя это в интеграл, получаем:<br /><br />\[ \int \frac{\sqrt[8]{x+4^{2}}+\sqrt[2]{x+4}+2}{4 \sqrt{x+4}} d x = \int \frac{\sqrt[8]{u^2+4}+u+2}{4u} \cdot 2udu \]<br /><br />Упрощая выражение, получаем:<br /><br />\[ = \int \left(\sqrt[8]{u^2+4}+u+2\right) du \]<br /><br />Теперь мы можем разбить интеграл на три отдельных интеграла:<br /><br />\[ = \int \sqrt[8]{u^2+4} du + \int u du + \int 2 du \]<br /><br />Первый интеграл можно решить с использованием замены переменной \( v = u^2+4 \), тогда \( dv = 2udu \). Второй и третий интегралы можно решить напрямую. После решения всех трех интегралов и подстановки обратной замены переменной \( u = \sqrt{x+4} \), мы получим окончательный ответ.