3anaua 3 . Haǎru YaCTHOE pemerue J HHCTHOTO HCO nucpoeperm ambHoro ypaBHeHHSI c IIOCTOAHHbIMF HUHEHTAMH CO cneuma/bHoi t npaBo} qacTbro. 13. y''+y'-5y=50cosx, y(0)=3,y'(0)=5

Для решения данного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, мы можем использовать метод неопределенных коэффициентов.<br /><br />Предположим, что решение уравнения имеет вид $y(x) = A \cos(x) + B \sin(x)$, где $A$ и $B$ - неопределенные коэффициенты.<br /><br />Подставляя это предположение в исходное уравнение, получаем:<br /><br />$y'' + y' - 5y = 50 \cos(x)$<br /><br />$(-A \cos(x) - 2B \sin(x)) + (A \cos(x) + B \sin(x)) - 5(A \cos(x) + B \sin(x)) = 50 \cos(x)$<br /><br />$-A \cos(x) - 2B \sin(x) + A \cos(x) + B \sin(x) - 5A \cos(x) - 5B \sin(x) = 50 \cos(x)$<br /><br />$-6A \cos(x) - 6B \sin(x) = 50 \cos(x)$<br /><br />Сравнивая коэффициенты, получаем:<br /><br />$-6A = 50$<br /><br />$-6B = 0$<br /><br />Отсюда $A = -\frac{25}{3}$, $B = 0$.<br /><br />Таким образом, решение уравнения имеет вид $y(x) = -\frac{25}{3} \cos(x)$.<br /><br />Теперь мы можем использовать начальные условия $y(0) = 3$ и $y'(0) = 5$ для нахождения коэффициентов $A$ и $B$.<br /><br />Подставляя $x = 0$ в уравнение $y(x)$, получаем:<br /><br />$y(0) = -\frac{25}{3} \cos(0) = -\frac{25}{3}$<br /><br />Но это не соответствует начальному условию $y(0) = 3$. Следовательно, предположение о форме решения неверно.<br /><br />Попробуем другой подход. Рассмотрим частное решение вида $y_p(x) = C \cos(x) + D \sin(x)$, где $C$ и $D$ - константы.<br /><br />Подставляя это предположение в исходное уравнение, получаем:<br /><br />$y'' + y' - 5y = 50 \cos(x)$<br /><br />$(C \cos(x) + D \sin(x))' + (C \cos(x) + D \sin(x))' - 5(C \cos(x) + D \sin(x)) = 50 \cos(x)$<br /><br />$(-C \cos(x) + D \sin(x)) + (C \cos(x) + D \sin(x)) - 5(C \cos(x) + D \sin(x)) = 50 \cos(x)$<br /><br />$-6C \cos(x) + 6D \sin(x) = 50 \cos(x)$<br /><br />Сравнивая коэффициенты, получаем:<br /><br />$-6C = 50$<br /><br />$6D = 0$<br /><br />Отсюда $C = -\frac{25}{3}$, $D = 0$.<br /><br />Таким образом, частное решение уравнения имеет вид $y_p(x) = -\frac{25}{3} \cos(x)$.<br /><br />Теперь мы можем использовать начальные условия $y(0) = 3$ и $y'(0) = 5$ для нахождения константы $C$ и $D$.<br /><br />Подставляя $x = 0$ в уравнение $y_p(x)$, получаем:<br /><br />$y(0) = -\frac{25}{3} \cos(0) = -\frac{25}{3}$<br /><br />Но это не соответствует начальному условию $y(0) = 3$. Следовательно, предположение о форме частного решения неверно.<br /><br />Попробуем другой подход. Рассмотрим частное решение вида $y_p(x) = C \cos(x) + D \sin(x)$, где $C$ и $D$ - константы.<br /><br />Подставляя это предположение в исходное уравнение, получаем:<br /><br />$y'' + y' - 5y = 50 \cos(x)$<br /><br />$(C \cos(x) + D \sin(x))' + (C \cos(x) + D \sin(x))' - 5(C \cos(x) + D \sin(x)) = 50 \cos(x)$<br /><br />$(-C \cos(x) + D \sin(x)) + (C \cos(x) + D \sin(x