more x int _(1)^2(xdx)/(sqrt (x^2)-1)

Для решения данного интеграла воспользуемся заменой переменной. Пусть \( x = \sinh(u) \), тогда \( dx = \cosh(u) \, du \). Подставим это в интеграл:<br /><br />\[<br />\int_{1}^{2} \frac{x \, dx}{\sqrt{x^2 - 1}} = \int_{\sinh^{-1}(1)}^{\sinh^{-1}(2)} \frac{\sinh(u) \cosh(u) \, du}{\sqrt{\sinh^2(u) - 1}}<br />\]<br /><br />Заметим, что \(\sqrt{\sinh^2(u) - 1} = \sqrt{\cosh^2(u) - 1} = \sqrt{\sinh^2(u)} = \sinh(u)\). Тогда интеграл упрощается до:<br /><br />\[<br />\int_{\sinh^{-1}(1)}^{\sinh^{-1}(2)} \sinh(u) \, du<br />\]<br /><br />Интегрируя \(\sinh(u)\), получаем:<br /><br />\[<br />\left. \cosh(u) \right|_{\sinh^{-1}(1)}^{\sinh^{-1}(2)} = \cosh(\sinh^{-1}(2)) - \cosh(\sinh^{-1}(1))<br />\]<br /><br />Зная, что \(\cosh(\sinh^{-1}(x)) = \sqrt{x^2 + 1}\), получаем:<br /><br />\[<br />\sqrt{2^2 + 1} - \sqrt{1^2 + 1} = \sqrt{5} - \sqrt{2}<br />\]<br /><br />Таким образом, значение данного интеграла равно \(\sqrt{5} - \sqrt{2}\).