int (sqrt[8](x+4)+2 sqrt(x+4)+2)/(4 sqrt(x+4)) d x

Для решения данного интеграла, мы можем использовать метод замены переменной. Пусть \( u = \sqrt{x+4} \), тогда \( du = \frac{1}{2\sqrt{x+4}}dx \). Подставляя это в интеграл, получаем:<br /><br />\[ \int \frac{\sqrt[8]{x+4}+2 \sqrt{x+4}+2}{4 \sqrt{x+4}} d x = \int \frac{u^7 + 2u + 2}{4u} du \]<br /><br />Теперь мы можем упростить выражение под интегралом:<br /><br />\[ \int \frac{u^7 + 2u + 2}{4u} du = \int \frac{u^6 + 2 + \frac{2}{u}}{4} du \]<br /><br />\[ = \frac{1}{4} \int (u^6 + 2 + \frac{2}{u}) du \]<br /><br />Теперь мы можем разбить интеграл на три отдельных интеграла:<br /><br />\[ = \frac{1}{4} \left( \int u^6 du + 2 \int du + 2 \int \frac{1}{u} du \right) \]<br /><br />Решив каждый из этих интегралов отдельно, получаем:<br /><br />\[ = \frac{1}{4} \left( \frac{u^7}{7} + 2u + 2 \ln|u| \right) + C \]<br /><br />Теперь подставляя \( u = \sqrt{x+4} \), получаем окончательный ответ:<br /><br />\[ \int \frac{\sqrt[8]{x+4}+2 \sqrt{x+4}+2}{4 \sqrt{x+4}} d x = \frac{1}{28} (\sqrt{x+4})^7 + \frac{1}{2} \sqrt{x+4} + \frac{1}{2} \ln|\sqrt{x+4}| + C \]<br /><br />где \( C \) - константа интегрирования.