a) lim _(xarrow infty )((x+2)/(x+1))^8x+9

Для решения данного предела, мы можем использовать правило Лопиталя или преобразовать выражение с использованием логарифмов.<br /><br />Рассмотрим данное выражение:<br />$\lim _{x\rightarrow \infty }(\frac {x+2}{x+1})^{8x+9}$<br /><br />Мы можем преобразовать это выражение с использованием логарифмов:<br />$\lim _{x\rightarrow \infty }(\frac {x+2}{x+1})^{8x+9} = \lim _{x\rightarrow \infty }e^{(8x+9)\ln(\frac {x+2}{x+1})}$<br /><br />Теперь рассмотрим предел внутри логарифма:<br />$\lim _{x\rightarrow \infty }\ln(\frac {x+2}{x+1})$<br /><br />Это выражение можно упростить следующим образом:<br />$\lim _{x\rightarrow \infty }\ln(\frac {x+2}{x+1}) = \lim _{x\rightarrow \infty }\ln(1 + \frac{1}{x+1})$<br /><br />Когда $x$ стремится к бесконечности, $\frac{1}{x+1}$ стремится к нулю, поэтому:<br />$\lim _{x\rightarrow \infty }\ln(1 + \frac{1}{x+1}) = \ln(1) = 0$<br /><br />Теперь подставим это значение обратно в наше первоначальное выражение:<br />$\lim _{x\rightarrow \infty }e^{(8x+9)\ln(\frac {x+2}{x+1})} = e^{(8x+9) \cdot 0} = e^0 = 1$<br /><br />Таким образом, ответ: $\lim _{x\rightarrow \infty }(\frac {x+2}{x+1})^{8x+9} = 1$.