sum_(n=1)^infty((n !)/(2 n !))=

Для решения данного суммирования, нам нужно упростить выражение внутри суммы. <br /><br />Используя формулу для факториала, мы можем записать \( n! \) как \( n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 1 \), а \( 2n! \) как \( 2n \times (2n-1) \times (2n-2) \times \ldots \times 1 \).<br /><br />Теперь мы можем упростить выражение внутри суммы, разделив \( n! \) на \( 2n! \):<br /><br />\[<br />\frac{n!}{2n!} = \frac{n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 1}{2n \times (2n-1) \times (2n-2) \times \ldots \times 1}<br />\]<br /><br />Мы видим, что в числителе и знаменателе есть одинаковые множители от 1 до \( n \), поэтому они сократятся:<br /><br />\[<br />\frac{n!}{2n!} = \frac{n}{2n} = \frac{1}{2}<br />\]<br /><br />Теперь мы можем записать сумму в упрощенном виде:<br /><br />\[<br />\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n!}{2n!}\right) = \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)<br />\]<br /><br />Так как сумма состоит из бесконечного количества одинаковых членов, результат будет равен:<br /><br />\[<br />\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \ldots = \infty<br />\]<br /><br />Таким образом, ответ: \( \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n!}{2n!}\right) = \infty \).