4) ) x^2+y^2=25 xy=-12

Для решения данной системы уравнений, мы можем использовать метод подстановки или метод исключения. В данном случае, мы будем использовать метод подстановки.<br /><br />Из второго уравнения мы можем выразить одну из переменных через другую. Давайте выразим y через x:<br /><br />$xy = -12$<br /><br />$y = -\frac{12}{x}$<br /><br />Теперь подставим это выражение для y в первое уравнение:<br /><br />$x^2 + \left(-\frac{12}{x}\right)^2 = 25$<br /><br />$x^2 + \frac{144}{x^2} = 25$<br /><br />Умножим обе части уравнения на $x^2$, чтобы избавиться от знаменателя:<br /><br />$x^4 + 144 = 25x^2$<br /><br />Перепишем уравнение в стандартной форме:<br /><br />$x^4 - 25x^2 + 144 = 0$<br /><br />Пусть $u = x^2$, тогда уравнение примет вид:<br /><br />$u^2 - 25u + 144 = 0$<br /><br />Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:<br /><br />$D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 625 - 576 = 49$<br /><br />Таким образом, дискриминант положителен, и у нас два корня:<br /><br />$u_1 = \frac{25 + \sqrt{49}}{2} = \frac{25 + 7}{2} = 16$<br /><br />$u_2 = \frac{25 - \sqrt{49}}{2} = \frac{25 - 7}{2} = 9$<br /><br />Теперь найдем значения x, подставив обратно $u = x^2$:<br /><br />$x_1 = \sqrt{16} = 4$ или $x_1 = -\sqrt{16} = -4$<br /><br />$x_2 = \sqrt{9} = 3$ или $x_2 = -\sqrt{9} = -3$<br /><br />Таким образом, у нас есть четыре возможных значения для x: 4, -4, 3 и -3. Теперь найдем соответствующие значения y:<br /><br />Для $x = 4$:<br /><br />$y = -\frac{12}{4} = -3$<br /><br />Для $x = -4$:<br /><br />$y = -\frac{12}{-4} = 3$<br /><br />Для $x = 3$:<br /><br />$y = -\frac{12}{3} = -4$<br /><br />Для $x = -3$:<br /><br />$y = -\frac{12}{-3} = 4$<br /><br />Таким образом, у нас есть четыре решения системы уравнений:<br /><br />$(4, -3), (-4, 3), (3, -4), (-3, 4)$