lim _(xarrow (pi )/(2))(e^sin2x-e^ln2x)/(ln(frac (2x)(pi )))

Для решения данного предела, нам нужно проанализировать поведение функции в числителе и знаменателе при \( x \to \frac{\pi}{2} \).<br /><br />1. **Числитель:**<br /> \[<br /> e^{\sin 2x} - e^{\ln 2x}<br /> \]<br /><br /> При \( x \to \frac{\pi}{2} \):<br /> \[<br /> \sin 2x \to \sin \pi = 0 \quad \text{и} \quad \ln 2x \to \ln \pi<br /> \]<br /><br /> Таким образом, числитель стремится к:<br /> \[<br /> e^0 - e^{\ln \pi} = 1 - \pi<br /> \]<br /><br />2. **Знаменатель:**<br /> \[<br /> \ln \left( \frac{2x}{\pi} \right)<br /> \]<br /><br /> При \( x \to \frac{\pi}{2} \):<br /> \[<br /> \frac{2x}{\pi} \to 1 \quad \text{и} \quad \ln 1 = 0<br /> \]<br /><br />Теперь рассмотрим предел:<br />\[<br />\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{e^{\sin 2x} - e^{\ln 2x}}{\ln \left( \frac{2x}{\pi} \right)}<br />\]<br /><br />При \( x \to \frac{\pi}{2} \), числитель стремится к конечному значению \( 1 - \pi \), а знаменатель стремится к 0. Это означает, что у нас есть неопределенность вида \(\frac{\text{конечное}}{0}\).<br /><br />Для более точного анализа можно воспользоваться правилом Лопиталя или рассмотреть производные числителя и знаменателя.<br /><br />Однако, если рассмотреть производные, можно заметить, что знаменатель стремится к 0 быстрее, чем числитель, что приводит к стремлению к бесконечности.<br /><br />Таким образом, правильный ответ:<br />\[<br />\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{e^{\sin 2x} - e^{\ln 2x}}{\ln \left( \frac{2x}{\pi} \right)} = -\infty<br />\]