int ((u^2-5)+3)/(u-6) cdot 2 u d u=

Для решения данного интеграла, сначала упростим выражение под интегралом:<br /><br />\[<br />\int \frac{(u^2 - 5) + 3}{u - 6} \cdot 2u \, du = \int \frac{u^2 - 2}{u - 6} \cdot 2u \, du<br />\]<br /><br />Теперь разделим интеграл на два отдельных интеграла:<br /><br />\[<br />= 2 \int \frac{u^2 - 2}{u - 6} \, du = 2 \left( \int \frac{u^2}{u - 6} \, du - \int \frac{2}{u - 6} \, du \right)<br />\]<br /><br />Для первого интеграла, используем замену \( v = u - 6 \), тогда \( dv = du \):<br /><br />\[<br />\int \frac{u^2}{u - 6} \, du = \int \frac{(v + 6)^2}{v} \, dv = \int \left( v + \frac{36}{v} + 12 \right) \, dv = \frac{v^2}{2} + 36 \ln|v| + 12v<br />\]<br /><br />Для второго интеграла:<br /><br />\[<br />\int \frac{2}{u - 6} \, du = 2 \ln|u - 6|<br />\]<br /><br />Теперь подставим результаты обратно:<br /><br />\[<br />2 \left( \frac{(u - 6)^2}{2} + 36 \ln|u - 6| + 12(u - 6) - 2 \ln|u - 6| \right) = (u - 6)^2 + 72 \ln|u - 6| + 24(u - 6)<br />\]<br /><br />Таким образом, окончательный ответ:<br /><br />\[<br />\int \frac{(u^2 - 5) + 3}{u - 6} \cdot 2u \, du = (u - 6)^2 + 72 \ln|u - 6| + 24(u - 6) + C<br />\]<br /><br />где \( C \) - константа интегрирования.