d. int (d x)/(cos ^2) x operatorname(tg)^3 x=

Для решения данного интеграла, мы можем использовать замену переменной и свойства тригонометрических функций.<br /><br />Пусть \( u = \tan(x) \), тогда \( du = \sec^2(x) \, dx \) и \( \cos^2(x) = \frac{1}{\sec^2(x)} \).<br /><br />Тогда интеграл можно переписать как:<br /><br />\[ \int \frac{dx}{\cos^2(x)} \tan^3(x) = \int \frac{du}{u^3} \]<br /><br />Теперь используем интегрирование по частям:<br /><br />Пусть \( v = u^{-2} \), тогда \( dv = -2u^{-3} du \).<br /><br />Тогда интеграл можно переписать как:<br /><br />\[ \int \frac{du}{u^3} = -\int dv = -u^{-2} + C \]<br /><br />Теперь вернемся к исходной переменной \( x \):<br /><br />\[ -u^{-2} + C = -\tan^{-2}(x) + C \]<br /><br />Таким образом, ответ: \( -\tan^{-2}(x) + C \).