((sin x)/(5 x))^prime=

Для решения этой задачи мы можем использовать правило дифференцирования частного и правило дифференцирования синуса.<br /><br />Сначала, давайте разберем выражение \( \left(\frac{\sin x}{5 x}\right)^{\prime} \). Это означает, что мы должны найти производную функции \( \frac{\sin x}{5 x} \).<br /><br />Для этого мы можем использовать правило дифференцирования частного, которое гласит, что производная частного двух функций равна производной первого функции, умноженной на производную второго функции, минус производная второго функции, умноженная на производную первого функции, все это делится квадратом второго функции.<br /><br />В данном случае, первый член - это \( \sin x \), а второй член - это \( 5x \). Производная первого члена, \( \sin x \), равна \( \cos x \), а производная второго члена, \( 5x \), равна \( 5 \).<br /><br />Теперь мы можем применить правило дифференцирования частного:<br /><br />\( \left(\frac{\sin x}{5 x}\right)^{\prime} = \frac{(\sin x)^{\prime} \cdot (5x)^{\prime} - (\sin x) \cdot (5x)^{\prime}}{(5x)^2} \)<br /><br />\( = \frac{\cos x \cdot 5 - \sin x \cdot 5}{(5x)^2} \)<br /><br />\( = \frac{5 \cos x - 5 \sin x}{25x^2} \)<br /><br />\( = \frac{\cos x - \sin x}{5x^2} \)<br /><br />Таким образом, производная функции \( \frac{\sin x}{5 x} \) равна \( \frac{\cos x - \sin x}{5x^2} \).