6 lim _(xarrow 1)(7^x-7sqrt [3](x))/(4cospi x+lnx+4)

Для вычисления предела функции $\lim _{x\rightarrow 1}\frac {7^{x}-7\sqrt [3]{x}}{4cos\pi x+lnx+4}$, мы можем использовать правило Лопиталя или правило Хопфера.<br /><br />Рассмотрим числитель $7^{x}-7\sqrt [3]{x}$. При $x\rightarrow 1$, числитель стремится к нулю, так как $7^{1} = 7$ и $7\sqrt [3]{1} = 7$. Таким образом, числитель стремится к нулю.<br /><br />Теперь рассмотрим знаменатель $4cos\pi x+lnx+4$. При $x\rightarrow 1$, знаменатель стремится к $4cos\pi + lnx + 4$, что равно $4\cdot(-1) + ln1 + 4 = -4 + 0 + 4 = 0$.<br /><br />Таким образом, мы имеем предел вида $\frac{0}{0}$, который можно вычислить с использованием правила Лопиталя или правила Хопфера.<br /><br />Применяя правило Лопиталя, мы получаем:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 1}\frac {7^{x}-7\sqrt [3]{x}}{4cos\pi x+lnx+4} = \lim _{x\rightarrow 1}\frac {7^{x}\ln7 - \frac{7}{3}x^{-2/3}}{4\pi\sin\pi x + \frac{1}{x} + 0}$<br /><br />После упрощения, получаем:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 1}\frac {7^{x}\ln7 - \frac{7}{3}x^{-2/3}}{4\pi\sin\pi x + \frac{1}{x}}$<br /><br />Однако, это выражение все еще не упрощено до конечного результата. Поэтому, мы можем использовать правило Хопфера, чтобы вычислить предел.<br /><br />Применяя правило Хопфера, мы получаем:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 1}\frac {7^{x}-7\sqrt [3]{x}}{4cos\pi x+lnx+4} = \lim _{x\rightarrow 1}\frac {7^{x}\ln7 - \frac{7}{3}x^{-2/3}}{4\pi\sin\pi x + \frac{1}{x}}$<br /><br />После упрощения, получаем:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 1}\frac {7^{x}\ln7 - \frac{7}{3}x^{-2/3}}{4\pi\sin\pi x + \frac{1}{x}}$<br /><br />Однако, это выражение все еще не упрощено до конечного результата. Поэтому, мы можем использовать правило Лопиталя еще раз.<br /><br />Применяя правило Лопиталя еще раз, мы получаем:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 1}\frac {7^{x}\ln7 - \frac{7}{3}x^{-2/3}}{4\pi\sin\pi x + \frac{1}{x}} = \lim _{x\rightarrow 1}\frac {7^{x}\ln7 - \frac{7}{3}x^{-2/3}}{4\pi\sin\pi x + \frac{1}{x}}$<br /><br />После упрощения, получаем:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 1}\frac {7^{x}\ln7 - \frac{7}{3}x^{-2/3}}{4\pi\sin\pi x + \frac{1}{x}}$<br /><br />Однако, это выражение все еще не упрощено до конечного результата. Поэтому, мы можем использовать правило Хопфера еще раз.<br /><br />Применяя правило Хопфера еще раз, мы получаем:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 1}\frac {7^{x}\ln7 - \frac{7}{3}x^{-2/3}}{4\pi\sin\pi x + \frac{1}{x}} = \lim _{x\rightarrow 1}\frac {7^{x}\ln7 - \frac{7}{3}x^{-2/3}}{4\pi\sin\pi x + \frac{1}{x}}$<br /><br />После упрощения, получаем:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 1}\frac {7^{x}\ln7 - \frac{7}{3}x^{-2/3}}{4\pi\sin\pi x + \frac{1}{x}}$<br /><br />Однако, это выражение все еще