7. Hairu YaCTHOP permeHue JIHHEỦHOTO HOO)IHO- pOLIHOTO AucpepepeHIHa.IbHOTO ypaBHeHus BTO- poro IIOpSI/IKa: y''+6y'+8y=4e^3x, y(0)=5,y'(0)=6

Для решения данного дифференциального уравнения с начальными условиями, сначала найдем общее решение уравнения без правой части. Общее решение уравнения $y'' + 6y' + 8y = 0$ можно найти, найдя его характеристическое уравнение $r^2 + 6r + 8 = 0$. Решив это квадратное уравнение, получим два корня: $r_1 = -2$ и $r_2 = -4$. Таким образом, общее решение уравнения будет иметь вид $y_h(x) = C_1e^{-2x} + C_2e^{-4x}$.<br /><br />Теперь найдем частное решение уравнения $y'' + 6y' + 8y = 4e^{3x}$. Для этого предположим, что частное решение имеет вид $y_p(x) = Ae^{3x}$. Подставив это предположение в исходное уравнение, найдем значение $A$. Получим $A = 1$.<br /><br />Таким образом, частное решение уравнения будет иметь вид $y_p(x) = e^{3x}$.<br /><br />Теперь составим общее решение уравнения, сложив общее и частное решения: $y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1e^{-2x} + C_2e^{-4x} + e^{3x}$.<br /><br />Используя начальные условия $y(0) = 5$ и $y'(0) = 6$, найдем значения констант $C_1$ и $C_2$. Подставив $x = 0$ в общее решение, получим $5 = C_1 + C_2 + 1$, что дает $C_1 + C_2 = 4$. Далее, найдем производную общего решения и подставим $x = 0$, чтобы найти значение $C_2$. Получим $C_2 = 2$.<br /><br />Таким образом, частное решение уравнения с начальными условиями будет иметь вид $y(x) = 2e^{-4x} + e^{3x}$.