Havin uHTepBan CXOAMMOCTV pana sum _(n=1)^infty (-1)^n((x-2)^2n)/(n) (BO OTBeT: square

Для решения данного интеграла, нам нужно использовать метод интегрирования по частям. Рассмотрим функцию \( u = (x-2) \) и \( dv = \frac{(x-2)^{2n}}{n}dx \). Тогда \( du = dx \) и \( v = \frac{(x-2)^{2n+1}}{2n+1} \).<br /><br />Испя формулу интегрирования по частям \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \), получаем:<br /><br />\[ \int (-1)^n \frac{(x-2)^{2n}}{n} dx = (-1)^n \frac{(x-2)^{2n+1}}{2n+1} - (-1)^n \frac{(x-2)^{2n+1}}{2n+1} dx \]<br /><br />Заметим, что второй интеграл имеет ту же форму, что и исходный. Таким образом, мы можем записать:<br /><br />\[ \int (-1)^n \frac{(x-2)^{2n}}{n} dx =)^n \frac{(x-2)^{2n+1}}{2n+1} + \int (-1)^n \frac{(x-2)^{2n+1}}{2n+1} dx \]<br /><br />Это выражение можно записать в виде суммы:<br /><br />\[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^frac{(x-2)^{2n}}{n} = \int \frac{dx}{(x-2)^2} \]<br /><br />Таким образом, ответ: \( \int \frac{dx}{(x-2)^2} \).