(11.Bbruncsure lim _(xarrow 0)(sin2x)/(arctg4x) 1) 0 2) 1/2 3) 2 5) 1/4

Pour résoudre cette limite, nous devons utiliser les propriétés des fonctions trigonométriques et des séries de Taylor.<br /><br />Tout d'abord, nous pouvons écrire $\sin(2x)$ comme $2x - \frac{(2x)^3}{3!} + \frac{(2x)^5}{5!} - \cdots$ et $\arctan(4x)$ comme $4x - \frac{(4x)^3}{3!} + \frac{(4x)^5}{5!} - \cdots$.<br /><br />Ensuite, nous pouvons diviser chaque terme du numérateur et du dénominateur par $x$ pour obtenir $\frac{\sin(2x)}{x} = 2 - \frac{2x^2}{3} + \frac{2x^4}{15} - \cdots$ et $\frac{\arctan(4x)}{x} = 4 - \frac{4x^2}{3} + \frac{4x^4}{15} - \cdots$.<br /><br />En prenant la limite lorsque $x$ tend vers 0, nous obtenons $\lim_{x\to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = 2$ et $\lim_{x\to 0} \frac{\arctan(4x)}{x} = 4$.<br /><br />Ainsi, la limite de l'expression donnée est $\lim_{x\to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \cdot \frac{x}{\arctan(4x)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.<br /><br />Donc, la réponse correcte est 2) $\frac{1}{2}$.