2. PeIIIHTb ypaBHeHue s . BepHyJIJIH y'-(1)/(1+x^2)cdot y=x^6e^-6arctgx_(y7)

Для решения данного дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, мы можем использовать метод разделения переменных.<br /><br />Итак, начнем с уравнения:<br /><br />$y' - \frac{1}{1+x^2} \cdot y = x^6 e^{-6 \arctan(x)}$<br /><br />Первый шаг - разделим переменные, чтобы выразить $y'$ в терминах $y$ и $x$:<br /><br />$y' = \frac{1}{1+x^2} \cdot y + x^6 e^{-6 \arctan(x)}$<br /><br />Теперь разделим переменные, чтобы выразить $y$ в терминах $x$:<br /><br />$\frac{dy}{y} = \frac{dx}{1+x^2} + x^6 e^{-6 \arctan(x)} dx$<br /><br />Интегрируя обе стороны, получим:<br /><br />$\int \frac{dy}{y} = \int \left(\frac{dx}{1+x^2} + x^6 e^{-6 \arctan(x)}\right) dx$<br /><br />Интегрируя левую сторону, получим:<br /><br />$\ln|y| = \int \frac{dx}{1+x^2} + \int x^6 e^{-6 \arctan(x)} dx$<br /><br />Интегрируя правую сторону, получим:<br /><br />$\ln|y| = \arctan(x) - \frac{1}{6} e^{-6 \arctan(x)} + C$<br /><br />где $C$ - константа интегрирования.<br /><br />Теперь мы можем выразить $y$ в терминах $x$:<br /><br />$y = e^{\ln|y|} = e^{\arctan(x) - \frac{1}{6} e^{-6 \arctan(x)} + C} = e^C \cdot e^{\arctan(x) - \frac{1}{6} e^{-6 \arctan(x)}}$<br /><br />Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения:<br /><br />$y = e^C \cdot e^{\arctan(x) - \frac{1}{6} e^{-6 \arctan(x)}}$<br /><br />где $C$ - константа интегрирования.