9. Jumna nurepeana CXOIIMMOCTH cTeneHHOro pana sum _(n=1)^infty ((3x-7)^n)/(n^2) paBHa... __ a) 1 6) 2 B) (2)/(3) (1)/(2)

Для того чтобы определить, на какую конечную величину сходится ряд, нужно проверить его на основе критерия Даламбера. Рассмотрим ряд:<br /><br />\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3x-7)^n}{n^2} \]<br /><br />Для применения критерия Даламбера, нужно проверить предел:<br /><br />\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \]<br /><br />где \( a_n = \frac{(3x-7)^n}{n^2} \).<br /><br />Тогда:<br /><br />\[ \sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{\left|\frac{(3x-7)^n}{n^2}\right|} = \frac{|3x-7|}{n} \]<br /><br />Теперь найдем предел этого выражения при \( n \to \infty \):<br /><br />\[ \lim_{n \to \infty} \frac{|3x-7|}{n} = 0 \]<br /><br />Поскольку этот предел равен 0, ряд сходится для всех \( x \), при условии, что \( |3x-7| < 1 \). Рассмотрим это неравенство:<br /><br />\[ |3x-7| < 1 \]<br /><br />Это означает:<br /><br />\[ -1 < 3x - 7 < 1 \]<br /><br />Решим это неравенство:<br /><br />\[ 6 < 3x < 8 \]<br /><br />\[ 2 < x < \frac{8}{3} \]<br /><br />Таким образом, ряд сходится для всех \( x \) в интервале \( (2, \frac{8}{3}) \).<br /><br />Теперь проверим, какое значение принимает ряд при \( x = \frac{7}{3} \):<br /><br />\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3 \cdot \frac{7}{3} - 7)^n}{n^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{0^n}{n^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{0}{n^2} = 0 \]<br /><br />Таким образом, ряд сходится к 0 при \( x = \frac{7}{3} \).<br /><br />Итак, правильный ответ: \( \frac{1}{2} \).